Kenne leider für den Corolla keine Details, aber üblicherweise werden die Lüfterstufen von einem Widerstands-Bauteil "gesteuert".
Ist einer der Widerstände defekt, läuft er immer auf Maximum.
Alternativ könnte das Thermostat hängen und die Motorkühlung hängt nur am kleinen Kreis und damit schnell auf "zu warm".
Das würde aber das direkte Anspringen von Beginn an nicht erklären.
Obige aussagen beziehen sich auf die allgemeinen Funktionsweisen und Zusammenhänge.
Es kann sein, das der Corolla hier und da anders ist.
Aber letztlich wirst Du um einen Werkstattbesuch nicht herumkommen. Per Tester ist das schnell gecheckt.